BapnaHT 2: a) lim _(xarrow infty )(2x^2+4)/(2x^2)+3x+1 6) lim _(xarrow 3)(3x^2-10x+3)/(x^2)-2x-3 3) lim _(xarrow 3)(x-3)/(sqrt (4x-3)-3)

1) $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {2x^{2}+4}{2x^{2}+3x+1} = 1$<br /><br />Для определения предела данной функции при $x\rightarrow \infty$, мы можем использовать правило Лопиталя или просто разделить числитель и знаменатель на $x^2$, чтобы получить $\frac{2+4/x^2}{2+3/x+1/x^2}$. При $x\rightarrow \infty$, $4/x^2$, $3/x$ и $1/x^2$ стремятся к 0, поэтому предел равен $\frac{2}{2} = 1$.<br /><br />2) $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {3x^{2}-10x+3}{x^{2}-2x-3} = 1$<br /><br />Для определения предела данной функции при $x\rightarrow 3$, мы можем попытаться подставить $x=3$ в числитель и знаменатель. Однако, знаменатель становится равным 0, поэтому мы должны использовать правило Лопиталя. После применения правила Лопиталя, получаем $\lim _{x\rightarrow 3}\frac{6x-10}{2x-2}$. Подставляя $x=3$, получаем $\frac{6\cdot3-10}{2\cdot3-2} = \frac{8}{4} = 1$.<br /><br />3) $\lim _{x\rightarrow 3}\frac {x-3}{\sqrt {4x-3}-3} = 4$<br /><br />Для определения предела данной функции при $x\rightarrow 3$, мы можем попытаться подставить $x=3$ в числитель и знаменатель. Однако, знаменатель становится равным 0, поэтому мы должны использовать правило Лопиталя. После применения правила Лопиталя, получаем $\lim _{x\rightarrow 3}\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{4x-3}}}$. Подставляя $x=3$, получаем $\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{4\cdot3-3}}} = \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{9}}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$.