5. Haủnure o6.nacT CXOLHMOCTH CTeneHHOTO pana sum _(n=1)^infty ((n+2)!cdot x^n)/(n^n)

Для того чтобы найти сумму ряда $\sum _{n=1}^{\infty }\frac {(n+2)!\cdot x^{n}}{n^{n}}$, нам нужно проанализировать его поведение при различных значениях $x$.<br /><br />1. **Определение области сходимя ряда:**<br /><br /> Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\frac {(n+2)!\cdot x^{n}}{n^{n}}$. Для определения области сходимия ряда, мы можем использовать тест Даламбера.<br /><br /> Рассмотрим предел $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$, где $a_n = \frac{(n+2)! \cdot x^n}{n^n}$.<br /><br /> \[<br /> \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+3)! \cdot x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{(n+2)! \cdot x^n} \right|<br /> \]<br /><br /> Упростим выражение:<br /><br /> \[<br /> = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+3) \cdot x}{(n+1)^{n+1} / n^n} \cdot \frac{1}{(n+2)} \right|<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+3) \cdot x}{(n+1) \cdot n^{n+1}} \cdot \frac{1}{(n+2)} \right|<br /> \]<br /><br /> Для того чтобы ряд сходился, этот предел должен быть меньше 1:<br /><br /> \[<br /> \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+3) \cdot x}{(n+1) \cdot n^{n+1}} \cdot \frac{1}{(n+2)} \right| < 1<br /> \]<br /><br /> Это неравенство будет выполняться, если $|x| < 1$. Таким образом, область сходимя ряда — это $(-1, 1)$.<br /><br />2. **Сумма ряда в области сходима:**<br /><br /> Для того чтобы найти сумму ряда в области сходима, мы можем использовать метод разложения в ряд Лорана (или разложение в ряд Маклорена).<br /><br /> Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\frac {(n+2)!\cdot x^{n}}{n^{n}}$ в окрестности $x = 0$.<br /><br /> Рассмотрим производную первого порядка:<br /><br /> \[<br /> \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^n}{n^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot n \cdot x^{n-1}}{n^n}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^{n-1}}{n^{n-1}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^{n-1}}{n^{n-1}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^{n-1}}{n^{n-1}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^{n-1}}{n^{n-1}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^{n-1}}{n^{n-1}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^{n-1}}{n^{n-1}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^{n-1}}{n^{n-1}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \sum_{n=