int(x^4+6 x) log _(2) x d x

Для вычисления данного интеграла можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Обозначим \( u = \log_2 x \) и \( dv = (x^4 + 6x) dx \). Тогда \( du = \frac{1}{x \ln 2} dx \) и \( v = \frac{x^5}{5} + 3x^2 \). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:<br /><br />\[ \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \log_2 x - \int \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \frac{1}{x \ln 2} dx \]<br /><br />Теперь нужно вычислить второй интеграл. Для этого также можно использовать метод интегрирования по частям. Обозначим \( u = \frac{x^5}{5} + 3x^2 \) и \( dv = \frac{1}{x \ln 2} dx \). Тогда \( du = \left( \frac{x^4}{4} + 6 \right) dx \) и \( v = \frac{1}{\ln 2} \ln x \). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:<br /><br />\[ \int \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \frac{1}{x \ln 2} dx = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^4}{4} + 6 \right) \ln x - \int \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^4}{4} + 6 \right) \frac{1}{x} dx \]<br /><br />Теперь нужно вычислить третий интеграл. Для этого можно заметить, что он также можно вычислить методом интегрирования по частям. Обозначим \( u = \frac{x^4}{4} + 6 \) и \( dv = \frac{1}{x} dx \). Тогда \( du = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{6}{x} \right) dx \) и \( v = \ln x \). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:<br /><br />\[ \int \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^4}{4} + 6 \right) \frac{1}{x} dx = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{6}{x} \right) \ln x - \int \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{6}{x} \right) \frac{1}{x} dx \]<br /><br />Теперь нужно вычислить четвертый интеграл. Для этого можно заметить, что он также можно вычислить методом интегрирования по частям. Обозначим \( u = \frac{x^3}{3} + \frac{6}{x} \) и \( dv = \frac{1}{x} dx \). Тогда \( du = \left( x^2 - \frac{6}{x^2} \right) dx \) и \( v = \ln x \). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:<br /><br />\[ \int \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{6}{x} \right) \frac{1}{x} dx = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^2}{2} - 6 \ln x \right) - \int \frac{1}{\ln 2} \left( x^2 - \frac{6}{x^2} \right) \frac{1}{x} dx \]<br /><br />Теперь нужно вычислить пятый интеграл. Для этого можно заметить, что он также можно вычислить методом интегрирования по частям. Обозначим \( u = x^2 - \frac{6}{x^2} \) и \( dv = \frac{1}{x} dx \). Тогда \( du = \left( 2x + \frac{12}{x^3} \right) dx \) и \( v = \ln x \). Прим