{4 x+2 z=4+8 x-2 y+12 z=1+y 5 12 y-4 z=24+32.

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод Гаусса. Давайте попробуем метод Гаусса.<br /><br />Сначала приведем систему уравнений к матрице коэффициентов:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />4 & 0 & 2 & | & 12 \\<br />1 & -2 & 12 & | & 1 \\<br />0 & 12 & -4 & | & 56<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Теперь мы будем применять элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду.<br /><br />1. Умножим первую строку на 1/4, чтобы получить коэффициент 1 в первой ячейке первой строки:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 1/2 & | & 3 \\<br />1 & -2 & 12 & | & 1 \\<br />0 & 12 & -4 & | & 56<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />2. Вычтем первую строку из второй строки, чтобы получить ноль в первой ячейке второй строки:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 1/2 & | & 3 \\<br />0 & -2 & 11/2 & | & -2 \\<br />0 & 12 & -4 & | & 56<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />3. Умножим вторую строку на -1/2, чтобы получить коэффициент 1 в первой ячейке второй строки:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 1/2 & | & 3 \\<br />0 & 1 & -11/4 & | & 1 \\<br />0 & 12 & -4 & | & 56<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />4. Умножим третью строку на 1/12, чтобы получить коэффициент 1 в первой ячейке третьей строки:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 1/2 & | & 3 \\<br />0 & 1 & -11/4 & | & 1 \\<br />0 & 1 & -1/3 & | & 14/3<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />5. Вычтем вторую строку из третьей строки, чтобы получить ноль в первой ячейке третьей строки:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 1/2 & | & 3 \\<br />0 & 1 & -11/4 & | & 1 \\<br />0 & 0 & 1/12 & | & 13/3<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Теперь мы можем использовать обратную подстановку, чтобы найти значения переменных. Начнем с третьей строки и двигаемся вверх по матрице.<br /><br />Из третьей строки получаем:<br /><br />\[<br />z = 13/3<br />\]<br /><br />Теперь подставим значение \(z\) во вторую строку, чтобы найти \(y\):<br /><br />\[<br />y - 11/4 \cdot 13/3 = 1<br />\]<br /><br />\[<br />y = 1 + 11/4 \cdot 13/3<br />\]<br /><br />\[<br />y = 1 + 143/12<br />\]<br /><br />\[<br />y = 12/12 + 143/12<br />\]<br /><br />\[<br />y = 155/12<br />\]<br /><br />Теперь подставим значения \(y\) и \(z\) в первую строку, чтобы найти \(x\):<br /><br />\[<br />x + 1/2 \cdot 13/3 = 3<br />\]<br /><br />\[<br />x = 3 - 13/6<br />\]<br /><br />\[<br />x = 18/6 - 13/6<br />\]<br /><br />\[<br />x = 5/6<br />\]<br /><br />Таким образом, решение системы уравнений:<br /><br />\[<br />x = \frac{5}{6}, \quad y = \frac{155}{12}, \quad z = \frac{13}{3}<br />\]