lim _(x arrow (pi)/(6)) (sin (x-frac(x)/(6)))((sqrt(3))/(2)-cos 2 x)

Для решения данного предела, начнем с упрощения выражения в числителе и знаменателе.<br /><br />В числителе у нас есть \(\sin \left(x-\frac{x}{6}\right)\). Мы можем упростить это выражение, используя свойства тригонометрических функций. В данном случае, \(x-\frac{x}{6} = \frac{5x}{6}\), поэтому \(\sin \left(x-\frac{x}{6}\right) = \sin \left(\frac{5x}{6}\right)\).<br /><br />В знаменателе у нас есть \(\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos 2x\). Мы можем использовать тригонометрическую тождество \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) для упрощения этого выражения. Подставив это тождество, получим \(\frac{\sqrt{3}}{2} - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x - \frac{1}{2}\).<br /><br />Теперь, подставив упрощенные выражения в исходный предел, получим:<br /><br />\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\sin \left(\frac{5x}{6}\right)}{2\sin^2 x - \frac{1}{2}}\)<br /><br />Для дальнейшего упрощения, подставим \(x = \frac{\pi}{6}\) в выражение:<br /><br />\(\frac{\sin \left(\frac{5\cdot\frac{\pi}{6}}{6}\right)}{2\sin^2 \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}} = \frac{\sin \left(\frac{5\pi}{36}\right)}{2\sin^2 \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}}\)<br /><br />Теперь, используя значения тригонометрических функций для \(\frac{5\pi}{36}\) и \(\frac{\pi}{6}\), мы можем вычислить числитель и знаменатель. После этого, мы можем найти предел этого выражения.<br /><br />Однако, в данном случае, мы не можем найти точное значение предела, так как числитель и знаменатель не могут быть упрощены до конечного значения. Поэтому, ответ на данный предел не может быть определено.