lim _(xarrow infty )(((infty -1)^x)/((x+1)!)) square

Для решения данного предела, нам нужно проанализировать поведение числителя и знаменателя при \( x \to \infty \).<br /><br />1. **Числитель**: \((\infty - 1)^x\). Поскольку \(\infty\) не является строго определенным числом, рассмотрим его как \( x \to \infty \). В этом случае \((\infty - 1)^x\) можно интерпретировать как \( x^x \), так как \(\infty - 1\) стремится к бесконечности.<br /><br />2. **Знаменатель**: \((x+1)!\). Факториал \( (x+1)! \) растет экспоненциально при \( x \to \infty \).<br /><br />Теперь рассмотрим предел:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to \infty} \frac{x^x}{(x+1)!}<br />\]<br /><br />Заметим, что \( x^x \) можно переписать как \( e^{x \ln x} \), где \( \ln x \) — натуральный логарифм \( x \). Таким образом, предел можно переписать:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to \infty} \frac{x^x}{(x+1)!} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{x \ln x}}{(x+1)!}<br />\]<br /><br />Теперь рассмотрим поведение числителя и знаменателя:<br /><br />- Числитель \( e^{x \ln x} \) растет экспоненциально.<br />- Знаменатель \( (x+1)! \) растет значительно быстрее, чем \( x^x \).<br /><br />Таким образом, числитель растет экспоненциально, а знаменатель растет значительно быстрее, чем числитель. Следовательно, предел стремится к нулю:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to \infty} \frac{x^x}{(x+1)!} = 0<br />\]<br /><br />Ответ: \(\boxed{0}\).