int (sqrt[7](operatorname(arcctg)^4 3 x d x))/(9 x^2)+1

Для решения данного интеграла, нам нужно сначала упростить выражение под корнем. <br /><br />Используя замену переменной, обозначим \( u = \operatorname{arcctg}(3x) \). Тогда \( du = \frac{-3}{1+9x^2}dx \), что приводит к изменению знака дифференциала: \( dx = \frac{du}{-3(1+9x^2)} \).<br /><br />Теперь подставим это выражение в интеграл \int \frac{\sqrt[7]{u^4} \cdot \frac{du}{-3(1+9x^2)}}{9x^2+1} \]<br /><br />Упростим выражение:<br /><br />\[ \int \frac{\sqrt[7]{u^4} \cdot du}{-3(1+9x^2)} \]<br /><br />Теперь подставим \( u = \operatorname{arcctg}(3x) \) обратно:<br /><br />\[ \int \frac{\sqrt[7]{(\operatorname{arcctg}(3x))^4} \cdot \frac{du}{-3(1+9x^2)}}{9x^2+1} \]<br /><br />Упрощая выражение, получаем:<br /><br />\[ \int \frac{\sqrt[7]{(\operatorname{arcctg}(3x))^4} \cdot du}{-3(1+9x^2)} \]<br /><br />Теперь, используя замену переменной \( u = \operatorname{arcctg}(3x) \), мы можем упростить интеграл до:<br /><br />\[ \int \frac{\sqrt[7]{u^4} \cdot du}{-3} \]<br /><br />Интегрируя это выражение, получаем:<br /><br />\[ -\frac{1}{3} \int \sqrt[7]{u^4} \cdot du \]<br /><br />Используя замену \( v = u^7 \), получаем:<br /><br />\[ -\frac{1}{21} \int v^{\frac{1}{7}} \cdot dv \]<br /><br />Интегрируя это выражение, получаем:<br /><br />\[ -\frac{1}{21} \cdot \frac{v^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + C \]<br /><br />Подставляя \( v = u^7 \) и \( u = \operatorname{arcctg}(3x) \), получаем:<br /><br />\[ -\frac{1}{21} \cdot \frac{(\operatorname{arcctg}(3x))^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + C \]<br /><br />Упрощая выражение, получаем:<br /><br />\[ -\frac{1}{24} (\operatorname{arcctg}(3x))^{\frac{8}{7}} + C \]<br /><br />Таким образом, ответ на данный интеграл равен \( -\frac{1}{24} (\operatorname{arcctg}(3x))^{\frac{8}{7}} + C \), где \( C \) - константа интегрирования.