a) lim _(x arrow 0) (cos 4 x-cos 7 x)/(1-cos 3 x)

Для решения данного предела воспользуемся формулой Лопиталя и тригонометрическими тождествами.<br /><br />Сначала применим формулу Лопиталя:<br /><br />\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 4x - \cos 7x}{1 - \cos 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\cos 4x - \cos 7x)}{\frac{d}{dx}(1 - \cos 3x)} \]<br /><br />Теперь найдем производные:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}(\cos 4x - \cos 7x) = -4\sin 4x + 7\sin 7x \]<br /><br />\[ \frac{d}{dx}(1 - \cos 3x) = 3\sin 3x \]<br /><br />Теперь подставим производные в формулу Лопиталя:<br /><br />\[ \lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 4x + 7\sin 7x}{3\sin 3x} \]<br /><br />Теперь рассмотрим пределы отдельных членов:<br /><br />\[ \lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 4x}{3\sin 3x} + \lim_{x \to 0} \frac{7\sin 7x}{3\sin 3x} \]<br /><br />Оба предела равны нулю, так как числитель стремится к нулю быстрее, чем знаменатель.<br /><br />Таким образом, ответ: 0.