5. Havinure o6nact CXOLIHMOCTH CTerleHHOTO pana sum _(n=1)^infty ((n+2)!cdot x^n)/(n^n)

Для вычисления данного ряда необходимо проанализировать его поведение при \( x \to 0 \) и \( x \infty \).<br /><br />Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^n}{n^n}\).<br /><br />Для \( x = 0 \):<br />\[<br />\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot 0^n}{n^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot 0}{n^n} = 0.<br />\]<br /><br />Теперь рассмотрим поведение ряда при \( x \to \infty \). используем оценку \((n+2)! \approx (n+2)^n \cdot \ln(n+2)\).<br /><br />\[<br />\frac{(n+2)! \cdot x^n}{n^n} \approx \frac{(n+2)^n \cdot \ln(n+2) \cdot x^n}{n^n} = \frac{\ln(n+2) \cdot x^n}{n^n}.<br />\]<br /><br />Для \( x \to \infty \), \( \ln(n+2) \approx \ln(n) \), и \( \frac{x^n}{n^n} \to 0 \) по мере увеличения \( n \).<br /><br />Таким образом, ряд сходится при \( x = 0 \) и для всех \( x \) при \( x \to \infty \).<br /><br />Итак, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)! \cdot x^n}{n^n}\) сходится для всех \( x \).