4. int (x+3)/(sqrt(x+5)-6) d x

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть \( u = \sqrt{x+5} \), тогда \( du = \frac{1}{2\sqrt{x+5}} \cdot dx \). Подставим это в интеграл:<br /><br />\[ \int \frac{x+3}{\sqrt{x+5}-6} dx = \int \frac{(u^2-5)+3}{u-6} du \]<br /><br />\[ = \int \frac{u^2-2}{u-6} du \]<br /><br />\[ = \int \left( u + \frac{10}{u-6} \right) du \]<br /><br />\[ = \int u \, du + \int \frac{10}{u-6} \, du \]<br /><br />\[ = \frac{u^2}{2} + 10 \ln |u-6| + C \]<br /><br />Теперь вернемся к исходной переменной \( x \):<br /><br />\[ = \frac{(\sqrt{x+5})^2}{2} + 10 \ln |\sqrt{x+5}-6| + C \]<br /><br />\[ = \frac{x+5}{2} + 10 \ln |\sqrt{x+5}-6| + C \]<br /><br />Таким образом, ответ: \( \frac{x+5}{2} + 10 \ln |\sqrt{x+5}-6| + C \).