(C_(3)^2)^2 cdot C_(x+6)^3=3 cdot C_(x+8)^x+6 cdot C_(x+1)^x-11 cdot C_(9)^8

Для решения данного уравнения, начнем с упрощения выражений.<br /><br />1. \( \left(C_{3}^{2}\right)^{2} = \left(\frac{3!}{2!(3-2)!}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \)<br /><br />2. \( C_{x+6}^{3} = \frac{(x+6)!}{3!(x+6-3)!} = \frac{(x+6)!}{3!(x+3)!} \)<br /><br />3. \( C_{x+8}^{x+6} = \frac{(x+8)!}{(x+6)!(x+8-(x+6))!} = \frac{(x+8)!}{(x+6)!2!} = \frac{(x+8)(x+7)(x+6)!}{2(x+6)!} = \frac{(x+8)(x+7)}{2} \)<br /><br />4. \( C_{9}^{8} = \frac{9!}{8!(9-8)!} = 9 \)<br /><br />Теперь подставим все в уравнение:<br /><br />\[ \frac{9}{4} \cdot \frac{(x+6)!}{3!(x+3)!} = 3 \cdot \frac{(x+8)(x+7)}{2} \cdot \frac{(x+6)!}{3!(x+3)!} - 11 \cdot 9 \]<br /><br />Упростим уравнение:<br /><br />\[ \frac{9}{4} \cdot \frac{(x+6)!}{3!(x+3)!} = \frac{3(x+8)(x+7)}{2} \cdot \frac{(x+6)!}{3!(x+3)!} - 99 \]<br /><br />Умножим обе части на \( 4 \cdot 3!(x+3)! \):<br /><br />\[ 9(x+6)! = 6(x+8)(x+7)(x+6)! - 396(x+3)! \]<br /><br />Сократим на \( (x+6)! \):<br /><br />\[ 9 = 6(x+8)(x+7) - 396(x+3) \]<br /><br />Раскроем скобки:<br /><br />\[ 9 = 6(x^2 + 15x + 56) - 396(x+3) \]<br /><br />\[ 9 = 6x^2 + 90x + 336 - 396x - 1188 \]<br /><br />\[ 9 = 6x^2 - 306x - 852 \]<br /><br />Перенесем все на одну сторону:<br /><br />\[ 6x^2 - 306x - 861 = 0 \]<br /><br />Разделим на 6:<br /><br />\[ x^2 - 51x - 143.5 = 0 \]<br /><br />Решим квадратное уравнение:<br /><br />\[ x = \frac{51 \pm \sqrt{51^2 + 4 \cdot 143.5}}{2} \]<br /><br />\[ x = \frac{51 \pm \sqrt{2601 + 574}}{2} \]<br /><br />\[ x = \frac{51 \pm \sqrt{3175}}{2} \]<br /><br />\[ x = \frac{51 \pm 56.3}{2} \]<br /><br />\[ x = 53.15 \text{ или } x = -5.15 \]<br /><br />Таким образом, правильный ответ: \( x = 53.15 \) или \( x = -5.15 \).