1. HaH pan sum _(n=1)^infty (n^2+4)/(n^n) UJEH JaHHOro pana

Для того чтобы решитьачу, нам нужно проанализировать ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 4}{n^n}\).<br /><br />Сначала рассмотрим поведение числителя и знаменателя отдельно:<br /><br />1. **Числитель**: \(n^2 + 4\)<br /> - При \(n \to \infty\), \(n^2\) растет очень и добавление 4 практически не влияет на рост числителя. Таким образом, числитель растет как \(n^2\).<br /><br />2. **Знаменатель**: \(n^n\)<br /> - Знаменатель растет экспоненциально. Для больших \(n\), \(n^n\) будет значительно больше, чем \(n^2\).<br /><br />Теперь рассмотрим предел отношения числителя и знаменателя при \(n \to \infty\):<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 4}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{n-2}}<br />\]<br /><br />Поскольку \(n^{n-2}\) растет экспоненциально, \(\frac{1}{n^{n-2}}\) стремится к нулю:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{n-2}} = 0<br />\]<br /><br />Таким образом, \(\frac{n^2 + 4}{n^n} \to 0\) при \(n \to \infty\). Это означает, что ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 4}{n^n}\) сходится, так как его общий член стремится к нулю.<br /><br />Итак, ответ: ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 4}{n^n}\) сходится.