3) int(x^4+6 x) log _(2) x d x

Для вычисления данного интеграла можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Пусть \( u = \log_2 x \) и \( dv = (x^4 + 6x) dx \). Тогда \( du = \frac{1}{x \ln 2} dx \) и \( v = \frac{x^5}{5} + 3x^2 \). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:<br /><br />\[ \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \log_2 x - \int \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \frac{1}{x \ln 2} dx \]<br /><br />Теперь нужно вычислить второй интеграл. Для этого также можно использовать метод интегрирования по частям. Пусть \( u = \frac{x^5}{5} + 3x^2 \) и \( dv = \frac{1}{x \ln 2} dx \). Тогда \( du = x^4 + 6x dx \) и \( v = \frac{1}{\ln 2} \ln x \). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:<br /><br />\[ \int \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \frac{1}{x \ln 2} dx = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^4}{4} + 3x \right) \]<br /><br />Теперь подставим это значение в первое выражение:<br /><br />\[ \int (x^4 + 6x) \log_2 x dx = \left( \frac{x^5}{5} + 3x^2 \right) \log_2 x - \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{x^4}{4} + 3x \right) + C \]<br /><br />где \( C \) - постоянная интегрирования.