lim _(xarrow 0,5)(4arccosx+pi sinpi x)/(pi cospi x+5arcsinx) https://vk com/maraedikovna

Um den Grenzwert zu berechnen, müssen wir den Ausdruck in der Form $\frac{0}{0}$ bringen. Dazu können wir den Ausdruck umformen, indem wir den Nenner und den Zähler mit $\pi$ multiplizieren:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{4\pi\arccos(x)+\pi^2\sin(\pi x)}{\pi^2\cos(\pi x)+5\pi\arcsin(x)}$<br /><br />Da der Grenzwert von $\arccos(x)$ und $\arcsin(x)$ bei $x=0,5$ existiert, können wir den Ausdruck weiter vereinfachen:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{4\pi\arccos(0,5)+\pi^2\sin(\pi \cdot 0,5)}{\pi^2\cos(\pi \cdot 0,5)+5\pi\arcsin(0,5)}$<br /><br />Da $\arccos(0,5) = \frac{\pi}{3}$ und $\arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6}$ sind, können wir den Ausdruck weiter vereinfachen:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{4\pi\cdot\frac{\pi}{3}+\pi^2\sin(\pi \cdot 0,5)}{\pi^2\cos(\pi \cdot 0,5)+5\pi\cdot\frac{\pi}{6}}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{\frac{4\pi^2}{3}+\pi^2\sin(\pi \cdot 0,5)}{\pi^2\cos(\pi \cdot 0,5)+\frac{5\pi^2}{6}}$<br /><br />Da $\sin(\pi \cdot 0,5) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ ist, können wir den Ausdruck weiter vereinfachen:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{\frac{4\pi^2}{3}+\pi^2}{\pi^2\cos(\pi \cdot 0,5)+\frac{5\pi^2}{6}}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{\frac{4\pi^2}{3}+\pi^2}{\pi^2\cos(\pi \cdot 0,5)+\frac{5\pi^2}{6}}$<br /><br />Da $\cos(\pi \cdot 0,5) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ ist, können wir den Ausdruck weiter vereinfachen:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{\frac{4\pi^2}{3}+\pi^2}{\pi^2\cdot 0+\frac{5\pi^2}{6}}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{\frac{4\pi^2}{3}+\pi^2}{\frac{5\pi^2}{6}}$<br /><br />Da der Nenner nicht null ist, können wir den Ausdruck weiter vereinfachen:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{\frac{4\pi^2}{3}+\pi^2}{\frac{5\pi^2}{6}}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{\frac{4\pi^2}{3}+\frac{3\pi^2}{3}}{\frac{5\pi^2}{6}}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{\frac{7\pi^2}{3}}{\frac{5\pi^2}{6}}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{7\pi^2}{3}\cdot\frac{6}{5\pi^2}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{7\cdot 6}{5\cdot 3}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{42}{15}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{14}{5}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0,5}\frac{14}{5} = \frac{14}{5} = 2,8$<br /><br />Der Grenzwert ist also $2,8$.