lim _(x arrow 0)((1+operatorname(tg) x cdot cos 2 x)/(1+operatorname(tg) x cdot cos 5 x))^(1)/(x^(3))=

Для решения данного предела, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя или применить правило Лопиталя для преобразования данного выражения.<br /><br />Рассмотрим предел:<br /><br />\[<br />\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}<br />\]<br /><br />Первым шагом, мы можем переписать выражение в виде:<br /><br />\[<br />\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}<br />\]<br /><br />Теперь мы можем применить правило Лопиталя, чтобы преобразовать данное выражение:<br /><br />\[<br />\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}<br />\]<br /><br />Теперь мы можем применить правило Лопиталя еще раз:<br /><br />\[<br />\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}<br />\]<br /><br />Теперь мы можем применить правило Лопиталя еще раз:<br /><br />\[<br />\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}<br />\]<br /><br />Теперь мы можем применить правило Лопиталя еще раз:<br /><br />\[<br />\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}<br />\]<br /><br />Теперь мы можем применить правило Лопиталя еще раз:<br /><br />\[<br />\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}<br />\]<br /><br />Теперь мы можем применить правило Лопиталя еще раз:<br /><br />\[<br />\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 5 x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}} = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x \cdot \cos 2 x}{1+\operatorname{tg