f(x)=0,4 x^(5)/(4)-(8)/(3) x^(3)/(4) ; f^prime(x) geqslant 0

Для нахождения производной функции \( f(x) \), применим правило дифференцирования степенной функции. Получим:<br /><br />\( f'(x) = 0,5x^{\frac{9}{4}} - 2x^{\frac{3}{4}} \)<br /><br />Теперь, чтобы найти значения \( x \), при которых производная функции неотрицательна, решим неравенство \( f'(x) \geqslant 0 \).<br /><br />\( 0,5x^{\frac{9}{4}} - 2x^{\frac{3}{4}} \geqslant 0 \)<br /><br />Разделим обе части на \( 0,5 \):<br /><br />\( x^{\frac{9}{4}} - 4x^{\frac{3}{4}} \geqslant 0 \)<br /><br />Вынесем общий множитель \( x^{\frac{3}{4}} \):<br /><br />\( x^{\frac{3}{4}}(x - 4) \geqslant 0 \)<br /><br />Теперь рассмотрим два случая:<br /><br />1. \( x^{\frac{3}{4}} \geqslant 0 \) и \( x - 4 \geqslant 0 \)<br /><br />В этом случае \( x \geqslant 4 \).<br /><br />2. \( x^{\frac{3}{4}} \leqslant 0 \) и \( x - 4 \leqslant 0 \)<br /><br />В этом случае \( x \leqslant 0 \).<br /><br />Таким образом, решением неравенства \( f'(x) \geqslant 0 \) является \( x \geqslant 4 \) или \( x \leqslant 0 \).