int (dx)/(sqrt (2-3x)+2sqrt [3](2-3x))

Для решения данного интеграла, мы можем использовать замену переменной. Пусть \( u = \sqrt[3]{2-3x} \), тогда \( du = \frac{-3}{3\sqrt[3]{2-3x}}dx \). Таким образом, \( dx = -\frac{3}{3u}du \). Подставляя это в интеграл, получаем:<br /><br />\[<br />\int \frac{-3}{3u} \cdot \frac{du}{\sqrt{2-3u^3} + 2u} = -\int \frac{du}{u(\sqrt{2-3u^3} + 2u)}<br />\]<br /><br />Теперь упростим выражение под корнем:<br /><br />\[<br />\sqrt{2-3u^3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\frac{3u^3}{2}}<br />\]<br /><br />Подставляя это в интеграл, получаем:<br /><br />\[<br />-\int \frac{du}{u(\sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\frac{3u^3}{2}} + 2u)}<br />\]<br /><br />Упрощая выражение под корнем, получаем:<br /><br />\[<br />-\int \frac{du}{u(\sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\frac{3u^3}{2}} + 2u)} = -\int \frac{du}{u(\sqrt{2} \cdot \sqrt{1-\frac{3u^3}{2}} + 2u)}<br />\]<br /><br />Теперь используем замену \( v = \sqrt{1-\frac{3u^3}{2}} \), тогда \( dv = \frac{-3u^2}{2\sqrt{1-\frac{3u^3}{2}}}du \). Получаем:<br /><br />\[<br />-\int \frac{du}{u(\sqrt{2} \cdot v + 2u)}<br />\]<br /><br />Теперь используем замену \( w = \sqrt{2}v + 2u \), тогда \( dw = \sqrt{2}dv + 2du \). Получаем:<br /><br />\[<br />-\int \frac{du}{u(w - 2u)}<br />\]<br /><br />Теперь используем замену \( z = w - 2u \), тогда \( dz = dw - 2du \). Получаем:<br /><br />\[<br />-\int \frac{du}{u(z - 2u)}<br />\]<br /><br />Теперь используем замену \( t = \frac{z}{u} \), тогда \( dt = \frac{dz - 2du}{u} \). Получаем:<br /><br />\[<br />-\int \frac{dt}{t - 2}<br />\]<br /><br />Интеграл \( -\int \frac{dt}{t - 2} \) равен \( -\ln|t - 2| + C \), где \( C \) - константа интегрирования.<br /><br />Теперь подставляем обратно все переменные и получаем окончательный ответ:<br /><br />\[<br />-\ln|\sqrt[3]{2-3x} - 2| + C<br />\]<br /><br />Таким образом, ответ на данный интеграл равен \( -\ln|\sqrt[3]{2-3x} - 2| + C \).