int sin(a_(1)x+b_(1))cos(a_(2)x+b_(2))dx

Для вычисления данного интеграла можно использовать метод интегрирования по частям. Обозначим:<br /><br />$u = \sin(a_{1}x + b_{1})$, $dv = \cos(a_{2}x + b_{2})dx$<br /><br />Тогда $du = a_{1}\cos(a_{1}x + b_{1})dx$, $v = \int \cos(a_{2}x + b_{2})dx = \frac{1}{a_{2}}\sin(a_{2}x + b_{2})$<br /><br />Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:<br /><br />$\int \sin(a_{1}x + b_{1})\cos(a_{2}x + b_{2})dx = uv - \int vdu$<br /><br />Подставляя значения $u$, $v$ и $du$, получаем:<br /><br />$\int \sin(a_{1}x + b_{1})\cos(a_{2}x + b_{2})dx = \frac{1}{a_{2}}\sin(a_{2}x + b_{2})\sin(a_{1}x + b_{1}) - \int \frac{1}{a_{2}}\sin(a_{2}x + b_{2})a_{1}\cos(a_{1}x + b_{1})dx$<br /><br />Таким образом, получаем:<br /><br />$\int \sin(a_{1}x + b_{1})\cos(a_{2}x + b_{2})dx = \frac{1}{a_{2}}\sin(a_{2}x + b_{2})\sin(a_{1}x + b_{1}) - \frac{a_{1}}{a_{2}}\int \sin(a_{2}x + b_{2})\cos(a_{1}x + b_{1})dx$<br /><br />Теперь нам нужно вычислить интеграл $\int \sin(a_{2}x + b_{2})\cos(a_{1}x + b_{1})dx$. Для этого также можно использовать метод интегрирования по частям. Обозначим:<br /><br />$u = \sin(a_{2}x + b_{2})$, $dv = \cos(a_{1}x + b_{1})dx$<br /><br />Тогда $du = a_{2}\cos(a_{2}x + b_{2})dx$, $v = \int \cos(a_{1}x + b_{1})dx = \frac{1}{a_{1}}\sin(a_{1}x + b_{1})$<br /><br />Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:<br /><br />$\int \sin(a_{2}x + b_{2})\cos(a_{1}x + b_{1})dx = uv - \int vdu$<br /><br />Подставляя значения $u$, $v$ и $du$, получаем:<br /><br />$\int \sin(a_{2}x + b_{2})\cos(a_{1}x + b_{1})dx = \frac{1}{a_{1}}\sin(a_{1}x + b_{1})\sin(a_{2}x + b_{2}) - \int \frac{1}{a_{1}}\sin(a_{1}x + b_{1})a_{2}\cos(a_{2}x + b_{2})dx$<br /><br />Таким образом, получаем:<br /><br />$\int \sin(a_{2}x + b_{2})\cos(a_{1}x + b_{1})dx = \frac{1}{a_{1}}\sin(a_{1}x + b_{1})\sin(a_{2}x + b_{2}) - \frac{a_{2}}{a_{1}}\int \sin(a_{1}x + b_{1})\cos(a_{2}x + b_{2})dx$<br /><br />Теперь подставим это выражение обратно в первоначальный интеграл:<br /><br />$\int \sin(a_{1}x + b_{1})\cos(a_{2}x + b_{2})dx = \frac{1}{a_{2}}\sin(a_{2}x + b_{2})\sin(a_{1}x + b_{1}) - \frac{a_{1}}{a_{2}}\left(\frac{1}{a_{1}}\sin(a_{1}x + b_{1})\sin(a_{2}x + b_{2}) - \frac{a_{2}}{a_{1}}\int \sin(a_{1}x + b_{1})\cos(a_{2}x + b_{2})dx\right)$<br /><br />Упростив выражение, получаем:<br /><br />$\int \