1. . int _(2)^6(sqrt (x-2))/(1+sqrt (x-2))dx

Для решения данного интеграла, мы можем использовать замену переменной. Пусть \( u = \sqrt{x-2} \), тогда \( du = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}dx \). Подставим это в интеграл:<br /><br />\[<br />\int_{2}^{6} \frac{\sqrt{x-2}}{1+\sqrt{x-2}}dx = \int_{0}^{2} \frac{u}{1+u} \cdot 2udu<br />\]<br /><br />Теперь интеграл упрощается до:<br /><br />\[<br />2 \int_{0}^{2} \frac{u^2}{1+u} du<br />\]<br /><br />Разделим интеграл на два:<br /><br />\[<br />2 \left( \int_{0}^{2} \frac{u^2}{1+u} du \right) = 2 \left( \int_{0}^{2} \frac{u^2 - 1 + 1}{1+u} du \right) = 2 \left( \int_{0}^{2} (u-1) du + \int_{0}^{2} \frac{1}{1+u} du \right)<br />\]<br /><br />Рассмотрим каждый из двух интегралов отдельно:<br /><br />\[<br />2 \left( \int_{0}^{2} (u-1) du + \int_{0}^{2} \frac{1}{1+u} du \right)<br />\]<br /><br />Первый интеграл:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} (u-1) du = \left[ \frac{u^2}{2} - u \right]_{0}^{2} = \left( \frac{4}{2} - 2 \right) - \left( \frac{0}{2} - 0 \right) = 2 - 2 = 0<br />\]<br /><br />Второй интеграл:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} \frac{1}{1+u} du = \left[ \ln |1+u| \right]_{0}^{2} = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3<br />\]<br /><br />Таким образом, итоговый результат:<br /><br />\[<br />2 \left( 0 + \ln 3 \right) = 2 \ln 3<br />\]<br /><br />Итак, ответ: \( 2 \ln 3 \).