int (d x)/(x(1+2 y))=int (d y)/(y(2+x))

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.<br /><br />Итак, начнем с левой стороны уравнения:<br /><br />\( \int \frac{dx}{x(1+2y)} \)<br /><br />Мы можем переписать это как:<br /><br />\( \int \frac{dx}{x} \cdot \frac{1}{1+2y} \)<br /><br />Теперь, перейдем к правой стороне уравнения:<br /><br />\( \int \frac{dy}{y(2+x)} \)<br /><br />Мы можем переписать это как:<br /><br />\( \int \frac{dy}{y} \cdot \frac{1}{2+x} \)<br /><br />Теперь, мы можем записать уравнение в виде:<br /><br />\( \int \frac{dx}{x} \cdot \frac{1}{1+2y} = \int \frac{dy}{y} \cdot \frac{1}{2+x} \)<br /><br />Для того чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Пусть \( u = \ln|x| \) и \( dv = \frac{dx}{x(1+2y)} \). Тогда \( du = \frac{dx}{x} \) и \( v = \ln|1+2y| \).<br /><br />Используя формулу интегрирования по частям, мы получаем:<br /><br />\( \int \frac{dx}{x} \cdot \frac{1}{1+2y} = \ln|x| \cdot \ln|1+2y| - \int \ln|1+2y| \cdot \frac{dx}{x} \)<br /><br />Аналогично, для правой стороны уравнения, пусть \( u = \ln|y| \) и \( dv = \frac{dy}{y(2+x)} \). Тогда \( du = \frac{dy}{y} \) и \( v = \ln|2+x| \).<br /><br />Используя формулу интегрирования по частям, мы получаем:<br /><br />\( \int \frac{dy}{y} \cdot \frac{1}{2+x} = \ln|y| \cdot \ln|2+x| - \int \ln|2+x| \cdot \frac{dy}{y} \)<br /><br />Теперь, мы можем приравнять обе стороны уравнения:<br /><br />\( \ln|x| \cdot \ln|1+2y| - \int \ln|1+2y| \cdot \frac{dx}{x} = \ln|y| \cdot \ln|2+x| - \int \ln|2+x| \cdot \frac{dy}{y} \)<br /><br />Это уравнение можно решить численно или аналитически, в зависимости от конкретных значений переменных \( x \) и \( y \).