9. Haǎru npoekuHIO optoroHa,IbHyro COCTABIRIOIIIyIO, paccrosHue H KOCHHYC yrula Mexily BeKTOpoM X = e.R' H HO2IIPOCTPaECTBOM U= X=(} 2 2 1

Для того чтобы решить данную задачу, нам нужно найти базис для подпространства U, заданного как линейная комбинация двух векторов в R^3.<br /><br />Даны векторы X и U:<br /><br />$X = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \in R^3$<br /><br />$U = \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \subset R^3$<br /><br />Чтобы найти базис для подпространства U, мы можем использовать метод Гаусса-Жордана для приведения матрицы до ступенчатого вида.<br /><br />Сначала составим матрицу, в которой строки представляют собой векторы X и U:<br /><br />$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$<br /><br />Теперь применим метод Гаусса-Жордана для приведения этой матрицы к ступенчатому виду:<br /><br />$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$<br /><br />$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$<br /><br />$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$<br /><br />$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$<br /><br />$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$<br /><br />Таким образом, базис для подпространства U будет состоять из двух векторов:<br /><br />$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$<br /><br />Таким образом, базис для подпространства U, заданного как линейная комбинация двух векторов в R^3, будет состоять из векторов $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.