int sin(a_(1)x+b_(1))sin(a_(2)x+b_(2))dx

Для вычисления данного интеграла можно использовать формулу интегрирования по частям или метод разложения на сумму. Рассмотрим метод разложения на сумму.<br /><br />Интеграл $\int \sin(a_{1}x+b_{1})\sin(a_{2}x+b_{2})dx$ можно разложить на сумму с использованием формулы для произведения синусов:<br /><br />$\int \sin(a_{1}x+b_{1})\sin(a_{2}x+b_{2})dx = \frac{1}{2} \int [\cos((a_{1}-a_{2})x + (b_{1}-b_{2})) - \cos((a_{1}+a_{2})x + (b_{1}+b_{2}))] dx$<br /><br />Теперь можно вычислить каждый из двух интегралов отдельно:<br /><br />$\frac{1}{2} \int \cos((a_{1}-a_{2})x + (b_{1}-b_{2})) dx - \frac{1}{2} \int \cos((a_{1}+a_{2})x + (b_{1}+b_{2})) dx$<br /><br />Для вычисления этих интегралов можно использовать стандартные формулы интегрирования для косинуса:<br /><br />$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a_{1}-a_{2}} \sin((a_{1}-a_{2})x + (b_{1}-b_{2})) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a_{1}+a_{2}} \sin((a_{1}+a_{2})x + (b_{1}+b_{2})) + C$<br /><br />где $C$ - константа интегрирования.<br /><br />Таким образом, окончательный ответ:<br /><br />$\int \sin(a_{1}x+b_{1})\sin(a_{2}x+b_{2})dx = \frac{1}{2(a_{1}-a_{2})} \sin((a_{1}-a_{2})x + (b_{1}-b_{2})) - \frac{1}{2(a_{1}+a_{2})} \sin((a_{1}+a_{2})x + (b_{1}+b_{2})) + C$