sum _(n=1)^infty (1)/(n^3)+1

Для вычисления данной суммы можно использовать метод сравнения с известными рядами. Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\). Этот ряд известен как ряд Рамануджана-Торантинского, и его сумма конечна и равна \(\frac{\pi^2}{12}\).<br /><br />Теперь рассмотрим разность между данной суммой и рядом Рамануджана-Торантинского:<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^3 + 1} - \frac{1}{n^3} \right)<br />\]<br /><br />Этот разность можно упростить следующим образом:<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1}<br />\]<br /><br />Так как известно, что \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\) сходится до конечной величины \(\frac{\pi^2}{12}\), то можно вычесть из него сумму ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1}\).<br /><br />Таким образом, сумма ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1}\) равна разности между \(\frac{\pi^2}{12}\) и суммой ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1}\).<br /><br />Однако, для точного вычисления этой разности требуется дополнительное исследование или численные методы, так как аналитическое решение может быть сложным.